【一起读论文】Basics of Reinsurance Pricing

这篇论文是CAS Exam 8 的一篇，主要介绍财险再保的基本概念和定价。作者是David R. Clark, FCAS，所以被称为clark paper. 文章比较长 50页，开个新坑，希望能填完。


论文链接如下：
Basics of Reinsurance Pricing

目录

Introduction
1. Proportional Treaties
2. Property Per Risk Excess Treaties
3. Casualty Per Occurrence Excess Treaties
4. Aggregate Distribution Models
5. Property Catastrophe Covers
6. Calculating the Final Price
                                                                                
                        
               

                                                                                                                                                

Introduction
先介绍了下什么是再保。然后介绍了再保和直保的不同：再保一般来说是给买家（直保公司）量身定做的。每一份再保合同都是单独定价已满足客户的具体需求。这导致了一个“定价悖论”：如果有人能准确定价一份再保合同，那直保公司也不用买这份产品了。
所以再保定价的风险，往往是拥有高度不确定性的，需要更多的精算假设和精算师的判断。

引言最后介绍了下文章结构，每章份A/B 两个section，Section A 是基本定价工具， Section B 是进阶的讨论和思辨。

1. Proportional Treaties
Section 1 A
这段介绍了两种Proportional Treaties的基本架构：Quota Share 和 Surplus Share。

Quota Share很好理解，再保分一部分保费（比如50%），按比例承担一部分赔付(loss)。注意一般情况下这里loss包含alae。同时，再保要付给直保公司一部分ceding commission 来补偿直保公司的expense。

Surplus Share要复杂一些，常见于Property. 这里要引入两个概念 retained line 和number of lines。用论文中的例子，一张保单retained line是$10000, 写4 lines，那么对于给定的Risk和insured value，就可以计算得到一个Surplus Percent. 再保公司按最后算出来的Surplus Percent赔付。 注意retained line 和 number of lines只是用来计算这个surplus percent，最后实际赔付的时候retained line和retained loss 没有直接关系。 用论文中的Risk 3 举个例子, Insured Value 是250000， Surplus Percent 是60%。如果最后实际loss是10000，那么再保公司需要赔付10000*60%=6000，而不是因为10000的loss没有超过retained line 不需要进行赔付。

文章然后举了个例子讲解了

proportional treaty

定价的6个步骤，这个基本和直保的常规定价步骤是一样，这里就不细讲了：

1. 收集历史数据。这里主要搞清楚 risk attaching 和 loss occuring的概念。 risk attaching 可以理解成对应直保policy year，loss occuring对应accident year.

2. 移除cat 和 shocking loss

3. develop/trending loss， trending premium

4. 选定non cat loss ratio

5. 加 cat load

6. 加 ceding commission和其它各种expense 得到 combine ratio

Section 1 B
这一节主要介绍了几种特殊的Commision结构： Sliding Scale, Profit Sharing 以及 Loss Corridors.

Sliding Scale:
这个非常常见，也很好理解，就是在一定Loss Ratio范围内Ceding Commission 和 Loss Ratio 挂钩（一般是线性关系）。比如Loss Ratio每增加1%，Ceding Commission 就降低1%。 这个机制可以有效的鼓励直保公司主动做好风险控制，因为Loss Ratio越低，他们都能获得的Ceding Commission也就越高。同时，这个机制让再保公司的experience更加稳定，在loss ratio很高的时候，减少的commission可以有效对冲一部分高出预期的loss ratio造成的损失。clark对于sliding scale定价的建议是计算得到一个loss ratio的distribution，然后按这个distribution对相应的comission做probability weight。
sliding scale 可以引入额外的carryforward provisions。该机制可以允许在上一年的loss ratio超过sliding window的上限（即commission 超出了下限）的时候，将上一年超出部分的loss ratio累加的今年的commission计算中。

Profit Sharing：
这个也比较好理解。在去除loss/commisssion/margin后，把剩余的profit再按预先规定的比例取出一部分左右profit commission 还给直保公司。

Loss Corridors：
这个稍微复杂一点。这个机制允许在一定的loss ratio 范围内，直保公司重新retain一部分loss。

以上三种结构的定价都依赖于aggregate distribution来得到loss ratio在不同区间的概率，这个概率怎么得到后文还会再提到。考试中的话这一章节只要理解这几个不同的概念，会算某个loss ratio下对应的commission基本就可以了。

2. Property Per Risk Excess Treaties
Section 2A
到了正式讲解Excess Layer如何定价的环节。总体来说，两大方法，experience rating 和 exposure rating。但对于具体的每一种treaty，细节又有些许不同。

Experience Rating 顾名思义，根据过去的经验来定价，这个跟primary insurance的定价有点像。唯一不同的地方在于，这里我们讲的是excess treaty，所以其实定价的是具体每一层的loss ratio，也叫 burning cost。比如我们要定价是1m xs 1m 的那一层，那考察的就是 loss 大于 1m 并且 cap 到 2m的部分。要注意的是，这里loss的衡量用的是ultimated trended loss， 所以假设有一个loss在0.99m，trend之后很可能就会进入我们要考察的那一层，那么，这样的loss就需要考虑在experience中。

Exposure Rating 的核心是根据 Exposure Curve 定价，这里我们先不考虑Exposure Curve是如何得到的。优先理解下什么是Exposure Curve: Exposure Curve描述的是Exposure与Loss间的一个对应关系。这里exposure是通过不用layer的limit占 total iv的百分比描述的，而loss也是通过相应layer loss 占 total loss的百分比描述。用论文中的例子，400k xs 100k 到 layer， iv 是 500 k, 那么这一层对应的exposure就是 （100+400）/500 = 100% 和 100/500 = 20% 之间部分， 根据exposure curve， 前100% iv 的loss占了 93%， 前20% iv exposure的loss占了 49%， 对应这一层的 loss 就是两者之差 93% - 49% = 44%。 注意这里的44%指的是所计算层的loss 占 total loss 的百分比，所以如果ground up loss ratio是60% 的话，那么这一层的burning cost 就是 44% * 60% = 26.4%。

再保实务中更常见的其实是我们会拿到一个limit profile。因为我们保的多半是一个portfolio，portfolio会分成几个不同的risk band。例如 iv 20k-100k ，有n1个risk，对应 premium 682k。iv 100k-250， 有n2个risk，对应premium 161k ... 这种时候，在没有额外信息的时候常见的做法是取band区间的中点作为平均iv，算对应的exposure %。有时候有额外信息，比如你知道 20k-100k的那些risk 其实大部分都是偏20k，那你就可以取小于中点的值。理论上这个平均iv其实应该是这个band里面所有risk iv的加权平均。之后算法就跟上面单个risk的类似了。注意一点，exposure curve其实是一条连续的曲线，虽然很多时候我们用了离散的表格来描述，论文中的例子里，如果对应的exposure%不是表格中直接的数字，那么取最近两个端点做线性插值就可以了。

Section 2B
1. Free cover. 当experience rating在高额层缺乏数据的时候，容易出现free cover的现象，这是需要避免的。一个避免的方法就是在低额层用experience rating 但是在高额度层改用exposure rating

2. Credibility. 再保中的credibility分配非常主观。文中提供了两个参考，一是根据experience period里的expected claim count。由于expect claim count经常无法得到，考虑的一个替代是expected loss amount，这个可以根据exposure rating得到。第二个credibility的考虑是年与年之间的变化，如果历史数据越稳定，那么就可以给experience rating更多的credibility，反之把更多的credibility 分配到 exposure rating 上。

3. Inuring Reinsurance
如果我们的excess treaty 之上还有一层surplus treaty，就让定价变得更复杂。对于experience rating来说，唯一准确的方法就是把所有loss 去掉inuring 的treaty后计算。 对于exposure rating 来说，inuring surplus treaty 不会影响计算，但是，如果我们选定exposure curve时候，是根据 size of insured value 选的，那么我们应该用 apply surplus treaty 前的insured value 来决定 exposure curve。