本文旨在简单探索线性同余发生器的一些原理和特点，很多思路借鉴于TAOCP，如果想要深入的探索这方面的知识，建议直接阅读原著。
一、公式化定义与线性同余序列的周期在离散数据及其应用中，如果
那么，称a模m同余b（或者称模m时，a等价于b），可以记为
而线性同余式就可以这样表示：
线性同余发生器与上面的线性同余式多少有一些关系。
2.1 公式化定义
按照The Art of Computer Programming,Volume 2[1]中3.21. The Linear Congruential Method的思路，线性同余发生器（LCG：Linear Congruential Generators ）可以采用如下公式化定义：
其中：
模数m和系数a是这个公式中最重要的参数，如何合理的选择这两个参数决定了其产生的线性同余序列（LCS：Linear Congruential Scquence）：<X>质量的优劣(<X>=X1,X2,X3..Xn...)。
常数c可以为0，也可以不为0。通常，如果c=0，那么（2）式也称作乘法线性同余发生器（MCG：Multiplicative Congruential Generator），如果c非0，（2）式,则称作混合线性同余发生器（Mixed Linear Congruential Generator）。
X0称作初始值，也就是所谓的种子seed。
2.2 线性同余序列的周期
如上的线性同余发生器产生的线性同余序列必然会存在一个周期P。在TAOCP中，作者以一个练习的方式提出了这个问题（exercise 3.1-6）。以下通过一种简单直白但不严谨的推理来解释这个问题。
将上述线性同余公式抽象为一个函数f（将Xn映射为Xn+1），这个函数具有自封闭特性。不难发现，实际上存在以下已知条件：
定义两个集合：S和T。初始状态下，集合S包含了从0到m-1所有的m个元素，集合T是一个空集。
现模拟产生LCS的过程，以任意值X0为参数，产生第一个伪随机数X1。其值必然属于集合S，此时将X1从集合S移动到集合T。
以X1为参数，产生第二个伪随机数X2=f(X1)，此时，X2有可能属于集合S，也有可能属于集合T。
1）如果X2属于集合S，那么此时还没有产生一个周期；
2）如果X2属于集合T，此处也就是刚好等于X1，那么此时一个周期产生，周期P=1。
更一般地，假设在生成X1到Xi-1过程中，每个数都是在集合S中找到的，则每个数都从集合S中移动到了集合T，此时两个集合的状态为：
然后生成Xi时，
1）如果Xi=f(Xi-1)在集合S中，则未能产生一个周期；
2）如果Xi=f(Xi-1)在集合T中，则一个周期产生，此时周期P<=i-1。
当然周期P也有可能等于m，也就是集合S最终为空集，集合T容纳了0到m-1的所有元素，且f(Xm)=X1。
因此，从以上推理不难得知，LCS必然存在一个周期P，且P<=m。
进而不难推断：
1）如果某LCG产生的随机序列的周期P小于m，则选取不同的初始值X0产生的LCS可能有不同的周期。
2）如果其周期P=m，则即使选取不同的X0，产生的这些LCS具有相同的周期且必定为P。
例如，对于下面发生器：
如果以初始值X0=12产生随机序列为：
7,6,9,0,7,6,9,0,7,6,9,0,7,6,9,0......
如果以初始值X0=13产生随机序列则为：
8,3,8,3,8,3,8,3,8,3,8,3,8,3......
但是，对于如下的发生器：
无论选取何值为种子产生的随机序列，其周期都是16。
二、关于参数选择构造一个表现良好的线性同余发生器并非易事，不但考虑其产生的随机序列的周期、随机分布特点，还要考虑计算的效率。
在参数的选择方面，最关键的就是modulus和multiplier的选择。
3.1 modulus选择
modulus应该尽可能大，这样才有可能产生较长的周期。如果计算机的字长为w位，TAOCP中推荐，应该取m=2^w，或者m=2^w+1，或者m=2^w-1，也可以取小于2^w的最大的素数，在论文TABLES OF LINEAR CONGRUENTIAL GENERATORS OF DIFFERENT SIZES AND GOOD LATTICE STRUCTURE[2] 中就采用了这种m值选取的方式。
通常而言，如果取m=2^w，则利用位运算往往会使计算过程更加方便和高效，但是会存在一个问题：产生的随机序列中各元素的低比特位的随机性并不是很好。
简单的解释是，当m=2^w时，对于一个s位的整数Z，Z模m的结果实际上就是Z的比特位中右边的s-w位的结果。
作者在原文中用了比较形式化的描述来说明这个问题：
假设d是m的一个因子，q为某一整数，令Yn满足如下关系：
然后进行如下变换：
不难发现由公式3-1-1实际就是一个线性同余发生器，产生的随机序列也具有周期，但是其周期小于等于d。
这里的<Y>序列实际上对应了原线性同余序列<X>的低位字节，可以将序列<Y>理解为是将<X>的低位单独抽取出来组成的一个序列。例如如果d=2^4，则序列<Y>的周期最大也就是16，对应了序列<X>中各个元素的低4位比特位的周期最大是16，显然低位的随机性并不是很好。正是由于这个原因，有些平台的实现会丢弃这些随机性不好的低比特位，截取高比特位以取得一个比较好的随机性效果。大多数应用场景中，低比特位并不会对最终用途产生影响，因此选取m=2^w基本能够满足要求，实际上很多平台也确实都是取m=2^w。
如果m取2^w+1或者m=2^w-1，则不会产生上述问题。
3.2 multiplier的选择
multiplier的选择推理过程比较复杂一些。一般来讲，应该使LCS的周期尽量长（最长为m），然后只使用一个周期内的元素，但是周期长的序列可能并不具有很好的随机性。
比如如下的线性同余发生器：
以初始值X0=3产生随机序列的结果：
4,5,6,7,0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,3......
可见，以上序列的随机性表现很糟糕。
在TAOCP中证明了如下定理，按照如下方式来选定系数a可以产生最大周期为m的LCS。
以上定理表明当c不等0时（c与m互质当然就不可能等于0），有可能产生周期为m的LCS。
另一方面，当c=0时，也即：
是否也有可能产生周期为m的LCS呢？答案是必然不可能。
一个简单的反证法：
如果c=0时，产生了周期为m的LCS，那么0必然在这个序列中，但是如果0在序列中，必然会导致LCS退化成全0的序列，因此原命题必然不成立。
从另一个角度考虑：
考虑d是m的一个因子，且Xn是d的倍数，也即Xn=kd，其中k为某整数。于是有如下推导：
由此可知，Xn+1也是d的倍数，同理，后面的Xn+2，Xn+2也是d的倍数，现在这样的序列也不是一个号的序列。所以如果要求序列中各个元素分别与m形成互质关系，因此这样的序列的元素个数实际就是欧拉函数对m求值，也即：
简单总结几点即是：
1）模数m应该尽可能大，通常至少大于2^30，为了计算效率，通常会结合计算机的字长考虑选取m的值。
2）如果m选取为2的幂，也即m=2^w，则选取的a通常应该满足a模8等于5。
3）当参数m和a的选定比较合理时，对于c的选择约束性不是很强烈，但要保证c与m互质。例如c可以选择1或者11。
4）种子seed应该是随机选取的，可以将时间戳作为种子。
因为Xn的低有效位的随机性表现并不是很好，所以在对Xn的随机特性比较敏感的应用场景中，应该尽量采用高比特位。事实上，更应该将值Xn/m视为0到1之间的均匀分布，而不是直接将Xn视为0到m-1之间的均匀分布。所以，如果希望产生0到k-1之间的均匀分布伪随机数，应该采用kXn/M的方式。 在具体构造一个LCG时，不仿参考TABLES OF LINEAR CONGRUENTIAL GENERATORS OF DIFFERENT SIZES AND GOOD LATTICE STRUCTURE[2]中的表格来选取参数，该文中针对MLCG和LCG给出了若干可供选择的参数m和a的值：针对MLCG，m取小于2^w的最大质数；针对LCG，m取2^w。
